21 November 2017 Spectroscopie par transformee de fourier des spectres etroits: application aux interferometres statiques
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Proceedings Volume 10569, International Conference on Space Optics — ICSO 2000; 1056924 (2017) https://doi.org/10.1117/12.2307896
Event: International Conference on Space Optics 2000, 2000, Toulouse Labège, France
Abstract
The Fourier transform spectrometry is useful to obtain optical spectra with high resolution. But in case of narrow band spectra, the number of sample become very important, related to the useful information (the sampling is proportional to the higher wavelength). By changing the sampling, it is possible to obtain narrow band spectra with far less samples. With fewer samples, static interferometers become possible to use. So with these two ideas (a better sampling and static interferometer) we can build a very simple, compact, and static instrument. We will show several possible application of this instrument.

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–SPECTROSCOPIE PAR TRANSFORMEE DE FOURIER – ECHANTILLONNAGE APPLIQUE AUX SPECTRES ETROITS

Considérons le cas général d’une fonction f(t) dont le spectre fréquentiel s’étend entre ν0 et ν0 + Δν (cas d’un spectre étroit).

Figure 1:

Spectre fréquentiel de la fonction f.

00416_PSISDG10569_1056924_page_3_1.jpg

Dans le cas où Δν est très petit devant ν0, le théorème de Shannon est pénalisant car le domaine spectral couvert entre 0 et ν0 + Δν est pratiquement vide. Il est cependant possible d’échantillonner f(t) avec un pas beaucoup plus grand à condition de se prémunir contre le repliement de spectre. Il doit y avoir alternance sans recouvrement des spectres des fréquences nédgatives et positives ce qui conduit à un pas d’échantillonnage optimal 00416_PSISDG10569_1056924_page_3_2.jpg

Pour obtenir, le spectre du signal de départ il reste à filtrer les bandes latérales par un filtre adéquat (figure 2). Le filtre le plus simple est un filtre passe-bande du type :

00416_PSISDG10569_1056924_page_3_4.jpg

Figure 2:

Reconstitution du spectre de départ grâce au filtre passe-bande S.

00416_PSISDG10569_1056924_page_3_3.jpg

dont la transformée de Fourier inverse s’écrit :

00416_PSISDG10569_1056924_page_3_5.jpg

Il est alors possible de retrouver la fonction de départ f(t) :

00416_PSISDG10569_1056924_page_4_1.jpg

2-

EXEMPLE DE RECONSTRUCTION

Le modelè précédent a été appliqué à l’étude du spectre atmosphérique centré autour de 750 cm-1. La largeur du spectre est Δν = 40 cm-1. Avec les notations précédentes, on obtient 00416_PSISDG10569_1056924_page_4_2.jpg

Nous avons choisi de simuler ce spectre atmosphérique par un profil gaussien normalisé dont la transformée de Fourier est bien connue : 00416_PSISDG10569_1056924_page_4_3.jpgσ2 est la variance de la gaussienne.

Figure 5:

Spectre bilatère étudié (la figure du bas détaille la raie modélisée).

00416_PSISDG10569_1056924_page_4_4.jpg

D’après le théorème de Shannon généralisé, le pas minimum d’échantillonnage pour reconstituer f(x) doit être de 00416_PSISDG10569_1056924_page_4_5.jpg

En pratique, on assurera une marge en considérant un pas une fois et demi plus petit, soit un pas de 83 μm ce qui correspondrait à un Δν effectif de 60 cm-1.

Si nous voulons une résolution de δν = 0,2 cm-1, le chemin optique maximal devra être 00416_PSISDG10569_1056924_page_5_1.jpg

Le nombre d’échantillons nécessaire à la reconstruction de l’interférogramme pour obtenir la résolution souhaitée est donc donné par :

00416_PSISDG10569_1056924_page_5_2.jpg

où E est la fonction partie entière qui arrondit à l’entier supérieur.

A partir des valeurs échantillonnées de f l’interférogramme complet peut être reconstruit :

Figure 6:

Interférogrammes échantillonné et reconstruit.

00416_PSISDG10569_1056924_page_5_3.jpg

Reste alors à calculer sa transformée de Fourier inverse pour obtenir le spectre de f(x). Ceci peut être fait par FFT.

Figure 9:

Spectre déduit de l’interférogramme reconstruit par FFT.

00416_PSISDG10569_1056924_page_6_1.jpg

3

–SPECTROSCOPIE PAR TRANSFORMEE DE FOURIER STATIQUE

La réduction importante du nombre d’échantillon dans le cas du traitement décrit ci dessus pour les spectres étroits permet d’envisager un dispositif entierèment statique pour réaliser l’échantillonnage. Ce type de dispositif se révélait trop complexe pour être appliqué à la spectroscopie par transformée de Fourier classique.

L’interférometre se compose donc d’un interféromètre classique de Michelson. Les deux miroirs sont remplacés par des miroirs à échelette. Chaque zone du miroir à échelette représente en fait un mini Michelson, avec une différence de marche précise, à imager sur un détecteur élémentaire d’une matrice CCD (par exemple).

On peut ainsi acquérir instantanément grâce à une matrice tous les échantillons nécessaires à la reconstruction du spectre.

Détail du dispositif de miroir à échelette :

00416_PSISDG10569_1056924_page_7_1.jpg

Le but est de constituer un interféromètre multivoie. A chacune des voies on associe un chemin optique particulier et un détecteur.

Si on note Nech le nombre d’échantillons nécessaire à la reconstruction de l’interférogramme et p le pas d’échantillonnage, les différents chemins optiques ont pour valeurs : 0,…,p(Nech –1). On suppose également que Nech = k2.

Une manière d’obtenir ces valeurs de chemins optiques à partir du dispositif ci-dessus consiste à graver par exemple le miroir supérieur avec un pas égal à 00416_PSISDG10569_1056924_page_7_2.jpg et le miroir de gauche avec un pas égal à 00416_PSISDG10569_1056924_page_7_3.jpg. Dans ce cas le chemin optique s’écrit en fonction des indices lignes/colonnes sous la 2n

forme :

00416_PSISDG10569_1056924_page_7_4.jpg

Ll,c est le chemin géométrique associé au chemin optique Δl,c.

Une vue du côté sortie de l’interféromètre est représentée ci-dessous. Les cases correspondent aux différents chemins optiques dans le cas particulier où k = 4.

00416_PSISDG10569_1056924_page_8_1.jpg

4-

QUELQUES DIMENSIONNEMENTS POSSIBLES

4-1

Cas du spectre H2O (871.25cm-1) (mission très haute résolution)

On cherche à acquérir le spectre de l’eau, avec les résolutions suivantes :

ν0 =870.65cm-1

Δν=1.2cm-1

δν = 0.01cm-1

On obtient un nombre d’échantillon à acquérir de 324, soit 182. Le gain par rapport à l’échantillonnage classique est de 700.

La taille d’un miroir à échelette serait de 4.7 cm par 2 cm.

Les pas des marches serait respectivement de 1.6mm et 3 cm pour les deux miroirs.

La hauteur totale des échelettes serait de 50 cm.

4-2

Cas du spectre CO2 (750cm-1) (mission haute résolution)

On cherche à acquérir le spectre du CO2, avec les résolutions suivantes :

ν0 =730cm-1

Δν=60cm-1

δν = 0.2cm-1

On obtient un nombre d’échantillon à acquérir de 625, soit 252. Le gain par rapport à l’échantillonnage classique est de 14.

La taille d’un miroir à échelette serait de 2.5 cm par 2.6 cm.

Les pas des marches serait respectivement de 1mm et 41μm pour les deux miroirs.

La hauteur totale des échelettes serait de 2.5 cm.

4-3

Cas d’un spectre ” large ” (mission basse résolution)

On cherche à acquérir le spectre du CO2, avec les résolutions suivantes :

ν0 =1800cm-1

Δν =400cm-1

δν = 2cm-1

On obtient un nombre d’échantillon à acquérir de 400, soit 202. Le gain par rapport à l’échantillonnage classique est de 5.5

La taille d’un miroir à échelette serait de 2.5 cm par 2.5 cm.

Les pas des marches serait respectivement de 125μm et 6μm pour les deux miroirs.

La hauteur totale des échelettes serait de 0.2 cm.

5-

CONCLUSION

Nous avons démontré la possibilité de simplifier grandement les interféromètres à transformée de Fourier, dans le cas des spectres étroits.

Le traitement mathématique élaboré permet en effet de réduire grandement le nombre d’échantillon à acquérir. Cela rend alors possible l’utilisation de miroir à échelette pour élaborer un concept instrumental simple, compact et sans mécanisme.

Un brevet CNES a été déposé sur ce type d’instrument, exploitant la combinaison d’un traitement mathématique et des miroirs à échelette. Les études vont continuer pour obtenir un maquettage d’un tel instrument.

© (2017) COPYRIGHT Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE). Downloading of the abstract is permitted for personal use only.
P. Vermande, P. Vermande, O. Gilard, O. Gilard, A. Rosak, A. Rosak, } "Spectroscopie par transformee de fourier des spectres etroits: application aux interferometres statiques", Proc. SPIE 10569, International Conference on Space Optics — ICSO 2000, 1056924 (21 November 2017); doi: 10.1117/12.2307896; https://doi.org/10.1117/12.2307896
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