1-

Introduction

La bistabilité optique a connu un grand développement ces dernières années. La plupart des bistables optiques développés jusqu’à présent font intervenir deux états de transmission qui se traduisent par des niveaux “haut” et” bas” de l’énergie transmise par le dispositif.

Les systèmes optiques bistables ont des applications importantes dans les ordinateurs et les télécommunications optiques parce qu’ils permettent de réaliser des portes logiques, des commutateurs, des amplificateurs et d’autres éléments dont l’action est contrôlable et très rapide. La possibilité de développer des transistors optiques et d’une façon générale des composants optiques quelconques permet d’envisager des ensembles de traitement optiques.

Pour prévoir le phénomène de la bistabilité optique, il est nécessaire d’introduire des équations non linéaires pour décrire ce phénomène d’hystérésis.

La structure d’un laser à absorbant saturable est donnée par la Fig1:

Fig. 1

M₁,M_2: Miroirs plans

L:longueur de la cavité

: Structure d’un laser à absorbant saturable

2.

Modèle mathématique

Le système d’équations d’un laser à absorbant saturable trimode comprend quatre équations: une équation donnant la densité de photons dans la cavité résonnante du mode central,une équation donnant la densité de photons dans la cavité résonnante du mode d’ordre ±1, une équation de bilan de la variation de la différence de population du milieu actif et une équation de bilan de la variation de la différence de population du milieu absorbant. Il s’écrit de la façon suivante [1,2]:

Où:

n_±1,n_o sont respectivement les densités de photons dans la cavité pour le mode j=0 et j =±1.

N_a, N_b sont respectivement les densités d’inversion de population du milieu actif (A) et du milieu absorbant (B).

x_±1,x₀ sont respectivement les coefficients des pertes du résonateur pour le mode j=0 et

j=±1

B est le coefficient d’Einstein; L est longueur de la cavité; q est le nombre de mode. γ_a,γ_b sont respectivement les coefficients du relaxation du milieu actif et absorbant. Où: γ_b = ξγ_a = ξγ avec ξ qui est coefficient de saturation (0 ≤ ξ ≤ 1)

Le profil de Lorentz g est défini par:

Où: Γ est largeur de raie homogène. et Δ_j = |ω_j–ω₀|

avec: ω_j est la fréquence d’ordre j et ω₀ est la fréquence centrale.

R_a,R_b sont respectivement le pompage du milieu actif et du milieu absorbant,

ce terme entre crochets désigne l’effet d’interférence produit dans le résonateur Fabry-Pérot. Il peut prendre différentes valeurs qui dépendent de la position des deux milieux actif et absorbant dans le résonateur optique.

Dans le cas général, les populations N_aet N_b sont indépendantes de la position z et par conséquent ce terme entre crochets peut s’écrire de la façon suivante:

Pour le cas où les milieux actif et absorbant sont placés au milieu de la cavité, A₀ prend la valeur où L est la longueur de la cavité, l est la longueur du milieu actif ou absorbant

3.

Effet de la bistabilité optique

Dans notre cas, nous étudions le phénoméne de la bistabilité optique et de ce fait, nous nous intéressons seulement au cas stationnaire laser c’est-à-dire les dérivées des variables par rapport aux temps sont nulles et par conséquent, nous posons à cet effet:

A partir des deux premières équations du systéme (1), nous obtenons la relation qui est donnée par:

et pour faciliter les calculs, plusieurs changements de variables ont été utilisés:

,

Selon l’équation (2), on distingue deux cas:

3.1

Cas où: xo g_±1 – x_±1 g_o =0

Si ce terme est nul cela revient à négliger le terme 1 du système d’équations (1) c’est-à-dire nous ne tinons pas compte de l’émission spontanée.

Nous étudions les cas où le coefficient de saturation est égal à l’unité (ξ=1) et ξ est différent de l’unité (ξ≠1).

a) Cas où le coefficient de saturation égal à l’unité (ξ =1)

Nous injectons cette relation dans l’équation (1) et après plusieurs transformations, nous obtenons une équation algébrique du deuxième degré de la forme:

Les conditions d’apparition de la BO ne sont pas vérifiées et par suite l’effet de la BO n’existe pas.

b) Cas où le coefficient de saturation est différent de l’unité (ξ≠1)

En procédant de la même manière que précédemment, nous trouvons une équation du troixième degré de la forme:

Où:

Puisque le dernier terme de l’équation (5) est très petit devant l’unité (B/y=10^_11) donc la méthode de Greaff-Lobatchevski peut être appliquée; l’équation (5) prend alors la forme suivante:

Les solutions de cette équation sontfacilement déterminées

3.2.

Cas où: x₀ g_±1 – x_±1 g₀ ≠ 0

Dans ce cas, nous tenons compte de l’émission spontanée. De la même façon, nous prenons les cas où le coefficient de saturation est égal à l’unité et différent de l’unité

3.2.1.

Cas où le coefficient de saturation est égal à l’unité (ξ =1)

Nous obtenons après de simples transformations, une équation du troisième degré en Q_o de la forme suivante:

En résumé, pour trouver au moins deux solutions positives c’est à dire l’effet de la bistabilité optique, il faut que le pompage du milieu actif (σ_a0) doit satisfaire aux conditions suivantes:

Nous constatons que les conditions ne sont pas vérifiées à la fois et par conséquent il n’y a pas de bistabilité optique dans le cas où le coefficient de saturation ξ=1.

3.2.2.

Cas où le coefficient de saturation est différent de l’unité (ξ≠1)

Avec les mêmes étapes de calcul et utilisant les expressions de Q₀,Q_±1,σ_a0etσ_b0, nous obtenons une équation algébrique de cinquiéme degré de la forme suivante:

Où:

3.3.

Courbes d’évolution de la densité de photons Q₀ en fonction du pompage du milieu actif

Pour préciser les conditions d’apparition de la bistabilité optique, il est commode d’établir un programme qui permet de déterminer les intervalles de la bistabilité optique en se basant sur les conditions de l’existence d’au moins deux solutions positives et de calculer les valeurs de (Q₀₁ Q₀₂ Q₀₃) pour différentes valeurs des paramétres σ_b0 A₀, g_±1, g₀, ξ, en prenant comme variable (σ_a0). Puis, nous avons tracé les courbes d’évolution représentant les densités de photons en fonction du pompage du milieu actif (σ_a0) pour les paramètres σ_a0, A₀, g_±1, g₀ et ξ (Fig.2).et (Fig3)

Fig. 2.

Courbes d’évolution représentant la densité de photons Q₀ en fonction du pompage du milieu actif (σ_a0) (cas où l’on ne tient pas compte de l’émission spontanée)

Fig. 3.

Courbes d’évolution de la densité de photons pour différents paramètres. (Cas où l’on tient compte de l’émission spontanée)

4.

Linéarisation du système d’équations non linéaire au voisinage de la solution stationnaire

L’analyse de stabilité linéaire consiste à déterminer l’évolution de petites variations des équilibres. Si l’équilibre est stable, ces variations s’amortissent dans le temps, elles divergent dans le cas d’un équilibre instable.

On linéarise ce système d’équation différentiel au voisinage des solutions stationnaires, c’est-à-dire que l’on pose:

Où:

n_0s,n_±1s,N_as,N_bs,: sont des valeurs stationnaires.

Δn_0s,Δn_±1s,ΔN_as,ΔN_bs: sont des petits écarts de quantité correspondantes vis à vis de leurs valeurs stationnaires.

En remplaçant n₀, n_±1, N_a et N_b dans les équations du système (1) et en ne gardant dans les équations que les termes en n_0s, n_±1s, N_as N_bs satisfont au système d’équations (1) et en négligeant les produits de type (Δn₀ΔN_a) et (Δn_±1ΔN_a), (Δn₀ΔN_b) et (Δn_±1ΔN_b)qui sont des quantités du second ordre de petitesse, on obtient finalement un système d’équations différentielles linéaires par rapport aux fonctions Δn₀(t), Δn_±1(t), ΔN_a(t), ΔN_b(t) qui est donné par:

A: La matrice représentant l’équation caractéristique du système d’équations différentielles linéaires

Avec:

Calculons le déterminant de (A+Iλ)

Où: λ est la valeur propre de la matrice A et I est la matrice identité d’ordre quatre. On obtient une équation caractéristique du quatrième degré en λ de la forme suivante:

Avec:

On remarque que (10) est une équation algébrique du quatrième degré. Pour connaître si l’état est stable ou instable, il faut déterminer ses racines.

En effet si les parties réelles des quatre racines de l’équation caractéristique (10) sont positives, on dit que l’état n_0s,n_±1s,N_as,N_bs, est stable, au contraire si l’une au moins de ces racines possède un partie réelle négative, cet état sera instable.

La question de la stabilité ou d’instabilité de l’état stationnaire initial revêt une importance fondamentale pour établir si l’auto-amorçage d’oscillation peut se réaliser dans un laser à filtre saturable. Si l’état initial est stable dans ce cas, les fluctuations de la densité du champ et de la densité d’inversion de populations ne peuvent pas faire osciller le laser. Autrement dit, la stabilité de l’état stationnaire signifie que le pompage de l’élément actif est incapable à lui seul de faire passer le laser à filtre saturable au régime d’oscillation sans l’action d’une source secondaire.